高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案

则P(D)=P(AB )+P(A C)+P( BC)

=15×14×(1-13)+15×(1-14)×13+(1-15)×14×13=960=320.

(2)记事件E：密码被破译， ：密码未被破译，

则P( )=P( )=(1-15)×(1-14)×(1-13)=2460=25，

所以P(E)=1-P( )=35，所以P(E)>P( ).

故密码被破译的概率大.

【点拨】解决事件的概率问题的一般步骤：①记取事件;②揭示事件的关系;③计算事件的概率.

【变式训练2】甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球，求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率.

【解析】由于各个袋中球的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别为16，13，12，可得P=A33×16×13×12=16.

题型三　综合问题

【例3】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：三门课程中至少有两门及格为考试通过;

方案二：在三门课程中随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

(1)分别求该应聘者在方案一和方案二下考试通过的概率;

(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.

【解析】记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)=a，P(B)=b，P(C)=c.

(1)应聘者在方案一下考试通过的概率

P1=P(AB )+P( BC)+P(A C)+P(ABC)

=ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)+abc

=ab+bc+ca-2abc.

应聘者在方案二下考试通过的概率

P2=13P(AB)+13P(BC)+13P(AC)=13(ab+bc+ca).

(2)由a，b，c∈[0,1]，则

P1-P2=23(ab+bc+ca)-2abc=23[ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)]≥0，

故P1≥P2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.

【点拨】本题首先以相互独立事件为背景，考查两种方案的概率，然后比较概率的大小，要求运用a，b，c∈[0,1]这一隐含条件.

【变式训练3】甲，乙，丙三人分别独立地进行某项体能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲，乙，丙三人都能通过测试的概率是320，甲，乙， 丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过的概率比丙大.

(1)求乙，丙两人各自通过测试的概率分别是多少?

(2)测试结束后，最容易出现几人通过的情况?

【解析】(1)设乙、丙两人各自通过的概率分别为x，y，依题意得

即 或 (舍去)，

所以乙、丙两人各自通过的概率分别为34，12.

(2)因为三人都不能通过测试的概率为P0=340，

三人都能通过测试的概率为P3=320=640，

三人中恰有一人通过测试的概率：

P1=25×(1-34)×(1-12)+(1-25)×34×(1-12)+(1-25)×(1-34)×12=720=1440，

三人恰有两人通过测试的概率：

P2=1-(P0+P1+P3)=1740，

所以测试结束后，最容易出现两人通过的情况.

总结提高

1.互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别：

对于事件A、B，在一次试验中，A、B如果不能同时发生，则称A、B互斥.一次试验中，如果A、B互斥且A、B中必有一个发生，则称A、B对立.显然，A+ 为必然事件，A、B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件的发生的概率没有影响.事实上：

A、B互斥，则P(AB)=0;

A、B对立，则P(AB)=0且P(A)+P(B)=1;

A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).

它们是不相同的.

2.由于当事件A、B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)，因此式子1-P(A)P(B)表示相互独立事件A、B中至少有一个不发生的概率.对于n个随机事件A1，A2，…，An，有

P(A1+A2+…+An)=1-P( ∩ ∩…∩ )，此称为概率的和与积的互补公式.

12.8　离散型随机变量及其分布列

典例精析

题型一　离散型随机变量的分布列

【例1】设离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 4

P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3

求：(1)2X+ 1的分布列;(2)|X-1|的分布列.

【解析】首先列表如下：

X 0 1 2 3 4

2X+1 1 3 5 7 9

|X-1| 1 0 1 2 3

从而由上表得两个分布列如下：

2X+1的分布列：

2X+1 1 3 5 7 9

P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3

|X-1|的分布列：

|X-1| 0 1 2 3

P 0.1 0.3 0.3 0.3

【点拨】由于X的不同的值，Y=f(X)会取到相同的值，这时要考虑所有使f(X)=Y成立的X1，X2，…，Xi的值，则P(Y)=P(f(X))=P(X1)+P(X2)+…+P(Xi)，在第(2)小题中充分体现了这一点.

【变式训练1】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过渡区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12，同样也假定D受A、B、C感染的概率都为13，在这种假定之下，B、C、D中受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X分布列，并求均值.

【解析】依题知X可取1、2、3，

P(X=1)=1×(1-12)×(1-13)=13，

P(X=2)=1×(1-12)×13+1×12×(1-13)=12，

P(X=3)=1×12×13=16，

所以X的分布列为

X 1 2 3

P

均值E(X)=1× +2× +3× = .

题型二　两点分布

【例2】在掷一枚图钉的随机试验中，令ξ= 如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量ξ的分布列.

【解析】根据分布列的性质，针尖向下的概率是1-p.于是，随机变量的分布列是

ξ 0 1

P 1-p p

【点拨】本题将两点分布与概率分布列的性质相结合，加深了两点分布的概念的理解.

【变式训练2】 若离散型随机变量ξ= 的分布列为：

ξ 0 1

P 9c2-c 3-8c

(1)求出c;

(2)ξ是否服从两点分布?若是，成功概率是多少?

【解析】(1)由(9c2-c)+(3-8c)=1，解得c=13或23.

又9c2-c≥0,3-8c≥0，所以c=13.

(2)是两点分布.成功概率为3-8c=13.

题型三　超几何分布

【例3】 有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数 X 的分布列.

【解析】X的所有可能取值为 0,1,2,3，X=0表示取出的5件产品全是正品，

P(X=0)=C03C57C510=21252=112;

X=1表示取出的5件产品有1件次品4件正品，

P(X=1)=C13C47C510=105252=512;

X=2表示取出的5件产品有2件次品3件正品，

P(X=2)=C23C37C510=105252=512;

X=3表示取出的5件产品有3件次品2件正品，

P(X=3)=C33C27C510=21252=112.

所以X的分布列为

X 0 1 2 3

P

【点拨】在取出的5件产品中，次品数X服从超几何分布，只要代入公式就可求出相应的概率，关键是明确随机变量的所有取值.超几何分布是一个重要分布，要掌握它的特点.

【变式训练3】一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X=4)的值为(　　)

A.1220　 　　 B.2755 C.27220 D.2125

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