最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集

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 最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集

一.选择题

1.(2012•广州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是(　　)

A. 　　B. 　　C.　　D.

考点： 勾股定理;点到直线的距离;三角形的面积。

专题： 计算题。

分析： 根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离.

解答： 解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，

根据勾股定理得：AB= =15，

过C作CD⊥AB，交AB于点D，

又S△ABC=AC•BC=AB•CD，

∴CD= = = ，

则点C到AB的距离是 .

故选A

点评： 此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

2.(2012毕节)如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是( )

A.2 B.2 C.4 D. 4

解析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，

求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可.

解答：解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，

∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°，

∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3，

在△BCD中，由勾股定理得：CB= ，在△ABC中，由勾股定理得：AC= = ，故选A.

点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中.

3.(2012湖州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )

A.20 B.10 C.5 D.

【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD= AB= ×10=5.

【答案】选：C.

【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。

4.(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )

A.10 B. C. 10或 D.10或

解析：考虑两种情况.要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.

解答：解：如下图， ，

故选C.

点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B;故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解.

5. (2012•荆门)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(　　)

A. B. C. D.

解析：根据勾股定理，AB= =2 ，

BC= = ，

AC= = ，

所以△ABC的三边之比为 ：2 ： =1：2： ，

A、三角形的三边分别为2， = ， =3 ，三边之比为2： ：3 = ： ：3，故本选项错误;

B、三角形的三边分别为2，4， =2 ，三边之比为2：4：2 =1：2： ，故本选项正确;

C、三角形的三边分别为2，3， = ，三边之比为2：3： ，故本选项错误;

D、三角形的三边分别为 = ， = ，4，三边之比为 ： ：4，故本选项错误.

故选B.

6. ( 2012巴中)如图3，已知AD是△ABC的

BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )

A.AB=AC B.∠BAC=900

C.BD=AC D.∠B=450

【解析】由条件A,与直角三角形全等的判定“斜边、直角边”

可判定△ABD≌△ACD，其它条件均不能使

△ABD≌△ACD，故选A

【答案】A

【点评】本题考查直角三角形全等的判定“斜边、直角边”应用.

二.填空题

7.( 2012巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c2-a2-b2 +|a-b|=0,则△ABC的形状为______

【解析】由关系c2-a2-b2 +|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.

【答案】等腰直角三角形

【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆定理的应用.

8(2012泸州)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm，则BC= .

解析：在直角三角形中，根据30°所对的直角边等于斜边

的一半，所以BC= AB= ×6=3(cm).

答案：3cm.

点评：30°所对的直角边等于斜边的一半，是直角三角形性质，

要注意前提条件是直角三角形.

9.(2012青岛)如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.

【解析】将圆柱展开，AB= .

【答案】15

【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果.“化曲面为平面”，利用勾股定理解决.要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.

10.(2012河北)如图7， 相交于点 ， 于点 ，若 ，则 等于　　　.

对顶角相等，直角三角形两锐角互余

观察图形得知 与 是对顶角， ，又在 中，两锐角互余，

11.(2012南州)如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )

A、(2，0) B、( ) C、( ) D、( )

解析：在 中， ，所以 ，所以 ，故 .

答案：C.

点评：本题考查矩形、勾股定理、圆弧及数轴知识，是一道综合性的题目，比较简单，难度较小.

12.(2012临沂)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm.

考点：直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质。

解答：解：∵∠ACB=90°，

∴∠ECF+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠BCD+∠B=90°，

∴∠ECF=∠B，

在△ABC和△FEC中， ，

∴△ABC≌△FEC(ASA)，

∴AC=EF，

∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，

∴AE=5﹣2=3cm.

故答案为：3.

13.(2012陕西)如图，从点 发出的一束光，经 轴反射，过点 ，则这束光从点 到点 所经过路径的长为 .

【解析】设这一束光与 轴交与点 ，作点 关于 轴的对称点 ，过 作 轴

于点 .由反射的性质，知 这三点在同一条直线上.再由轴对称的性质知 .则 .

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