高一数学教案：自建函数模型解决实际问题

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本文题目：高一数学教案：自建函数模型解决实际问题

第二课时 自建函数模型解决实际问题

课前预习学案

一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质

二、预习内容：

函数 图像 定义域 值域 性质

一次函数

二次函数

指数函数

对数函数

幂函数

三.提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题

学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

二、探究过程：

例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日销售量的关系如图所示:

销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12

日均销售量/桶 480[来 440 400 360 320 280 240

请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

探索以下问题：

(1)随着销售价格的提升，销售量怎样变化?成一个什么样的函数关系?

(2)最大利润怎么表示?润大利润=收入-支出

本题的解答过程：

解：

本题总结

例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表

(身高：cm;体重：kg)

身高 60 70 80 90 100 110

体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50

身高 120 130 140 150 160 170

体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

1) 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常?

探索以下问题：

1)建立适当的坐标系，根据统计数据，画出它们相应的散点图;

2)观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近?

3)你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重 与身高 的函数关系比较合适?

4)确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.

5)怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好?

解答过程：解：

变式. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：

时间(S) 60 120 180 240 300

温度(℃) 86.86 81.37 76.44 66.11 61.32

时间(S) 360 420 480 540 600

温度(℃) 53.03 52.20 49.97 45.96 42.36

1)建立适当的坐标系，描点画出水温随时间变化的图象;

2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 (℃)关于时间 的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.

3)水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温?再经过几分钟会降到10℃?对此结果，你如何评价?

解：

课堂检测

课本121页B组第1题

课后巩固练习与提高

1、一辆中型客车的营运总利润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如表所示，则客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大。

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

x年 4 6 8 …

(万元) 7 11 7 …

2、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：(1)如果不采取任何措施，那么到最新一年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷;(2)如果从最新一年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷?

观测时间 1996年底 1997年底 1998年底 1999年底 最新一年底

该地区沙漠比原有面积增加数(万公顷) 0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001

3、(2003北京春，理、文21)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

参考答案

1、B

故到最新一年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。

3、(2003北京春，理、文21)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f(x)=(100- )(x-150)- ×50，整理得：f(x)=- +162x-21000=- (x-4050)2+307050.所以，当x=4050时，f(x)最大，其最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

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