2016年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)

∴AB是△ABE外接圆的直径.………………………………………………………………3分

在Rt△ABE中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE.

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°.

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB.

∴CB是△ABE外接圆的切线.

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，- ).

(4) s=

【点评】本题以平面直角坐标系为背景，综合考察了二次函数、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、三角形相似、勾股定理、待定系数法、分类讨论等知识，而且是中考的压轴题。知识点丰富全面，考查了学生综合运用知识、分类讨论思想来解决问题的能力。第1小题常规题，利用待定系数法求二次函数的解析式，难度较低;第2小题是利用勾股定理、锐角三角函数、90°的圆周角所对的弦是直径、等量代换等证明圆的切线，综合性较强，难度中等;第3小题，考察了分类讨论思想，在坐标轴上找点，构造寻找相似三角形，难度中等;第4小题，利用分类讨论思想、二次函数、和差法计算阴影部分面积，是压轴题的最后一题，将中下层面的学生拒之题外，难度较大.

23.(2012河南，23，11分)如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于A，B两点，点A在 轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不 与A，B重合)，过点P作 轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D

(1)求 及 的值

(2)设点P的横坐标为

①用含 的代数式表示线段PD的长，

并求出线段PD长的最大值;

②连接PB，线段PC把△PBD分成

两个三角形，是否存在适合的 值，

使这两个三角形的面积之比为9:10?

若存在，直接写出 值;若不存在，说明理由.

23.解析：(1)根据题意知，点A纵坐标为0，求出横坐标，点B纵坐标为3，也可求出横坐标，将A、B两点坐标代人求出 ，设直线 与 轴交于点 ，则 ，∵ ∥ 轴，∴ .能求∠ACP的正弦;(2)①在Rt△PCD中，用m表示出PC，结合上面求出的 值，表示出PD的长;②分别过点D,B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F，G，利用△PCD与△PCB公共边PC，分别用m表示出它们的高DF，BG，在Rt△PDF中， 又

∴

当 时.解得

当 时，解得

解：(1)由 ，得到 ∴

由 ，得到 ∴

∵ 经过 两点，

∴

设直线 与 轴交于点 ，则

∵ ∥ 轴，∴ .

∴

(2)由(1)可知抛物线的解析式为

∴

在Rt△PCD中，

∵ ∴当 时， 有最大值

②存在满足条件的 值，

点评：本题是一道函数与几何问题的综合题，先根据一次函数与抛物线的交点坐标求出函数的解析式，然后利用图象上面点的坐标来表示图形中线段的长，图形的面积等问题，再建立方程，或根据二次函数的性质求最值.

27.(2012江苏苏州，27，8分)如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2

(1)当x= 时，求弦PA、PB的长度;

(2)当x为何值时，PD•CD的值最大?最大值是多少?

分析： (1)由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形PCA与三角形PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长;

(2)过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.

解答： 解：(1)∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，

∴AB⊥l，又∵PC⊥l，

∴AB∥PC，

∴∠CPA=∠PAB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠APB=90°，又PC⊥l，

∴∠PCA=∠APB=90°，

∴△PCA∽△APB，

∴ = ，即PA2=PC•AB，

∵PC= ，AB=4，

∴PA= = ，

∴Rt△APB中，AB=4，PA= ，

由勾股定理得：PB= = ;

(2)过O作OE⊥PD，垂足为E，

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，

∴PE=ED，

又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，

∴四边形OACE为矩形，

∴CE=OA=2，又PC=x，

∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，

∴CD=PC﹣PD=x﹣2(x﹣2)=4﹣x，

∴PD•CD=2(x﹣2)•(4﹣x)=﹣2x2+12x﹣16=﹣2(x﹣3)2+2，

∵2

∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2.

点评： 此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

(2012•哈尔滨，题号28分值 10) 28.(本题10分)

已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN.

(1)如图l，求证：PC=AN;

(2)如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC =3，CK：CF=2：3，求D Q的长.

【解析】本题是对三角形全等、相似、勾股定理、三角函数的综合考查.

(1)先证明△AQP≌△MNA，得AN=PQ，PA=AM，再利用等角的余角相等证∠ABP=∠CBP，结合角平分线性质说明PQ=PC，从而PQ=AN得证;

(2)NP=2，PC=3，结合(1)中结论易知AN=3，AP=AM=5，由勾股定理可计算MN=AQ=5

通过△PNM∽△PBC可得BC=6，则BP可求;

设CK=2m,CF=3m,通过△PNE∽△PKC， NE、EM可用m表示，由sin∠PBC= sin∠EMH= ，可将EH、FH用m表示;

作ER垂直BF于R，有tan∠BPC=tan∠EFR=2可求RF值，在RT△REP中勾股定理计算EF，可求m值，进而CK、BK可计算;

计算tan∠PKC= tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，作KG垂直BA于G，设KG=4n,则BG=3n,BK=5n=3,n值可得解，BD=7n，DQ=AB-BD-AQ可解.

【答案】证明：(1)∵MA⊥AM，MN⊥AP，∠BAM=∠ANM=90°，∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN. ∵∠PQA=∠ANM=90°，AQ=MN，∴△APQ≌△MNA，∴AN=PQ，AM=AP，∴∠AMN=∠APN，又因为∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°。∴∠ABM=∠PBC，又PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC，∴AN=PC;

上一页  [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]  下一页