2016年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)

(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可.

(3)延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度.

解答： 解：(1)∵CG∥AP，

∴△GCD∽△APG，

∴ = ，

∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，

∴GD=3﹣x，AG=4﹣x，

∴ = ，即y= ，

∴y关于x的函数关系式为y= ，

当y=3时， =3，解得x=2.5，

经检验的x=2.5是分式方程的根.

故x的值为2.5;

(2)∵S1= GP•GD= • •(3﹣x)= ，

S2= GD•CD= (3﹣x)1= ，

∴S1﹣S2= ﹣ = 即为常数;

(3)延长PD交AC于点Q.

∵正方形ABCD中，AC为对角线，

∴∠CAD=45°，

∵PQ⊥AC，

∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°.

∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，

∴3﹣x= ，

化简得：x2﹣5x+5=0.

解得：x= ，

∵0≤x≤2.5，

∴x= ，

在Rt△DGP中，PD= = (3﹣x)= .

点评： 此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解.

23(2012深圳市 23 ，19分)如图9—①，平在面直角从标系中，直线 的位置随 的不同取值而变化。

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2

当 时，直线 经过圆心M;

当 时，直线 与 ⊙M相切;

(2)若把⊙M换成矩形 ，如图9—②，其三个顶点的坐标分别为： 。设直线 扫过矩形 的面积为 ，当 由小到大变化时，请求出 与 的函数关系式。

【解析】：(1)若直线经过圆心，则点M在直线 上，将M(4，2)代入直线解析式中，即可求出 的值;(2)当直线与⊙M相切时，构造直角三角形，得用相似或解直角三角形的方法，可求 的值，注意分类。(3)直线在运动中，扫过知形之前，扫过的面积为0，直线扫过矩形时，扫过的图形分别为三角形，直角梯形，五边形、矩形，故可分5种情况，求出 与 的函数关系式，是典型的分段函数。

【解答】：(1) ;

如图9—3，易求 ，则 ，又 ∥

则 ，

由于 ，

则 ，

设 则 ，有 ，

， ,

, 故 ，

代入 ，求得 ，类似可求

(2)如图9—4 ①当 时，直线不扫过知形，此时

② 时，直线扫过矩形的面积为三角形的面积，由于直线与 轴的交点为意 ，故

③ 当 时，直线扫过矩形的面积为

直角梯形的面积，此时与DC交点为

④ 当 时，直线扫地矩形的面积为五边形，

此时直线与DC的交点为 则

⑤ 当 时，直线扫过矩形的面积即为矩形的面积，故

综上，

【点评】：本题主要考查分段函数和分类计论思想。分类时要做到不重不漏，各种情况要仔细分析，计算量大。各种情况根据图形的特点，用面积公式求解。

23.(2012广东汕头，23，12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合.

(1)求证：△ABG≌△C′DG;

(2)求tan∠ABG的值;

(3)求EF的长.

分析： (1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论;

(2)由(1)可知GD=GB，故AG+ GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值;

(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD= AD=4，再根据tan∠ABG即可得 出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论.

解答： (1)证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在：△ABG≌△C′DG中，

∵ ，

∴△ABG≌△C′DG;

(2)解：∵由(1)可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，

∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=(8﹣x)2，解得x= ，

∴tan∠ABG= = = ;

(3)解：∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD= AD=4，

∴tan∠ABG=tan∠ADE= ，

∴EH=HD× =4× = ，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位线，

∴HF= AB= ×6=3，

∴EF=EH+HF= +3= .

点评： 本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.

25.(2012山西，25，12分)问题情境：将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由.

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：

解：OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1)

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON.(依据2)

反思交流：

(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：

依据2：

(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.

拓展延伸：

(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程.

【解析】(1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.

(2)证明：∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵O是AB的中点，

∴OA=OB.

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

∵在△OMA和△ONB中

，

∴△OMA≌△ONB(AAS)，

∴OM=ON.

(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由如下：

连接CO，则CO是AB边上的中线.

∵∠ACB=90°，

∴OC= AB=OB，

又∵CA=CB，

∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠2=∠B，

∵BN⊥DE，

∴∠BND=90°，

又∵∠B=45°，

∴∠3=45°，

∴∠3=∠B，

∴DN=NB.

∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°.又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°

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