2016年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)

(2)∵NP=2，PC=5，∴由(1)知PA=NC=5，AC=8，∴AM=AP=5，∴AQ=MN=4.

设CK=2m,CF=3m.∵MN∥BF，∴△PNM∽△PBC，△PNE∽△PKC，

∴ ，∴BC=6，NE= ，∴BF=6+3m,ME=4- ,BP=3 ,

∴sin∠PBC= sin∠EMH= = ,∵EF⊥PM，∴FH=BF sin∠PBC= (6+3m)，EH=EM sin∠EMH= (4- ).

作ER垂直BF于R，则ER=NC=5.

∵∠RFE+∠REF=∠RFE+∠PBC=90°，∴∠REF=∠PBC，∴tan∠BPC=tan∠EFR= =2，∴RF= ，∴EF= ，∴m= ,∴CK=3，BK=3.

∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC.

∵tan∠PKC=1，∴tan∠BDK=1，作KG⊥BA于G，∵tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，

∴设KG=4n,则BG=3n,GD=4n,∴BK=5n=3, n= ，∴BD=7n= .

∵AB=10，AQ=4，∴BQ=6，∴DQ=BQ-BD= .

【点评】本题第二问的难点在于如何巧妙添加辅助线、如何反复利用相似、同角(等角)的三角函数表示其他相关线段并列方程求解.

由MN∥BF推到三角形相似、结合CK：CF=2:3设定参数表示其他线段是本题的突破口，同角(等角)的三角函数值相等、勾股定理是解答本题的重要工具.

解答此类题目的宗旨是根据已知条件表示能表示的所有线段，寻找各线段之间的关系，建立起联系，逐步推进达到求解的目的.

23.(2012四川达州，23，12分)(12分)如图1，在直角坐标系中，已知点A(0，2)、点B(-2，0)，过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.

(1)填空：点D的坐标为( )，点E的坐标为( ).

(2)若抛物线 经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.��

(3)若正方形和抛物线均以每秒 个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为 ，求 关于平移时间 (秒)的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围.

②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.����

解析：对于(1)，可知OC=1，过D作DF垂直y轴，则△OBC≌△FCD，则FC=OB=2，DF=OC=1，故点D坐标为(-1，3)，同理可得E点坐标为(-3，2);对于(2)，可用待定系数法，求出抛物线的解析式;对于(3)，可考虑当点D、B、E运动到y轴上时是三种情况，在这三个时间段内分别讨论，能做到不混淆、不重、不漏;求抛物线的顶点坐标，可以先求出点E平移到y轴后的坐标，从而可确定抛物线是如何平移，即可求出抛物线平移后的顶点坐标。

答案：(1)D(-1，3)、E(-3，2)(2分)

��(2)抛物线经过(0，2)、(-1，3)、(-3，2)，则

��……………………………………………………………….(3分)��

解得

��∴ ……………………………………………………….(4分)

��(3)①当点D运动到y轴上时，t= .

�サ�0

�ド鐳′C′交y轴于点F

�ァ擢玹an∠BCO= =2,又∵∠BCO=∠FCC′

��∴�玹an∠FCC′=2, 即 =2

�ァ逤C′= t,∴FC′=2 t.��

∴S△CC′F��= CC′•FC′= t× t=5 t2…………………………………(5分)

�サ钡鉈运动到点C时，t=1.�サ�

�ド鐳′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H.

�ピ赗t△BOC中，BC=

��∴GH= ,∴CH= GH=

�ァ逤C′= t,∴HC′= t- ,∴GD′= t-

��∴S梯形CC′D′G��= ( t- + t) =5t- ……………………………(7分)

�さ钡鉋运动到y轴上时，t= .

�サ�1

�ド鐳′E′、E′B′分别交y轴于点M、N

�ァ逤C′= t，B′C′= ,

∴CB′= t- ,��∴B′N=2CB′= t-

∵B′E′= ,∴E′N=B′E′-B′N= - t

��∴E′M= E′N= ( - t)

��∴S△MNE′��= ( - t)• ( - t)=5t2-15t+

��∴S五边形B′C′D′MN��=S正方形B′C′D′E′��-S△MNE′��= (5t2-15t+ )=-5t2+15t-

�プ凵纤�述，S与x的函数关系式为：

当0

当

当1

��

②当点E运动到点E′时，运动停止.如下图所示

�ぁ�∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′

��∴△BOC∽△E′B′C

��∴

�ァ逴B=2，B′E′=BC=

��∴

��∴CE′=

��∴OE′=OC+CE′=1+ =

��∴E′(0， )…………………………………………………………………..(10分)

�ビ傻鉋(-3，2)运动到点E′(0， ),可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了 个单位.

�ァ� = ��

∴原抛物线顶点坐标为( ， )……………………………………………(11分)

��∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为( ， )…………………………(12分)

点评：本题以直角坐标系内的正方形为基本图形，设计出正方形沿着某条直线平移的运动型问题，考查了三角形全等、三角形相似的判定及其性质，图形的平移及其性质等知识点，考察了待定系数法、数形结合方法，分类思想方法，具体有较强的综合性和一定的区分度。

28.(2012江苏苏州，28，12分)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x(s)，线段GP的长为y(cm)，其中0≤x≤2.5.

(1)试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值;

(2)记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2.试说明S1﹣S2是常数;

(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

分析： (1)根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值.

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