中考数学开放探索型问题试题归类

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 中考数学开放探索型问题试题归类

12. (2012山东日照，12，3分)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1;在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2;在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3;……;依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是( )

A. B. C. D.

解析：设正方形A1B1C1D1的边长为x，则AC1= C1D1= D1 B =x,故3x=1，x= ;同理，正方形A2B2C2D2的边长为 ，……，故可猜想第n个正方形AnBnCnDn的边长是 .

解答：选B.

点评：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A1B1C1D1的边长.

(2012河北省25,10分)25、(本小题满分10分)

如图14，A(-5,0)，B(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°，点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒

(1)求点C的坐标;

(2)当∠BCP= 15°时，求t的值;

(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在直线)相切时，求t的值。

【解析】在直角三角形BCO中，∠CBO=45°OB=3，可得OC=3，因此点C的坐标为(0,3);(2)∠BCP= 15°，只是提及到了角的大小，没有说明点P的位置，因此分两种情况考虑：点P在点B的左侧和右侧;(3)⊙P与四边形ABCD的边(或边所在直线)相切，而四边形有四条边，肯定不能与AO相切，所以要分三种情况考虑。

【答案】解(1)∵∠BCO=∠CBO=45° ∴OC=OB=3

又∵点C在y轴的正半轴上，

∴点C的坐标为(0,3)………………………………2分

(2)当点P在点B右侧时，如图2.

若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故OP=OCtan30°=

此时 ………………………………4分

当点P在点B左侧时，如图3，由. ∠BCP=15°得∠PCO=60°

故PO=OCtan60°=3 ， 此时t=4+3

∴t的值为4+ 或4+3 ………………………………6分

(3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边都相切，有以下三种情况：

①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1……………7分

②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4……………………………8分

③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO=90°， ∴点A为切点，如图4， ，

，于是 ，解得t=5.6

∴t的值为1或4或5.6……………………10分

【点评】本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教学中多渗透考虑问题要全面(不重不漏)，培养学生优秀的学习品质。有一定难度。

(2012河北省26,12分)26、(本小题满分12分)

如图15-1和图15-2，在△ABC中，AB=13，BC=14， 。

探究 如图15-1，AH⊥BC于点H，则AH=___________，AC=____________，△ABC的面积S△ABC=_____________。

拓展 如图15-2，点D在AC上(可以与点A、C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，(当点D与点A重合时，我们认为S△ABC=0)

(1)用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;

(2)求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值;

(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围。

发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值。

【解析】探究 根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH和AC 的值，进而求出三角形的面积。

拓展(1)利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式;(2)利用(1)中的式子，用x表示m和n，再求(m+n)的值。点D在AC上，BD的长度可以认为是点D到AC的距离，所以当BD⊥AC时，x最小，是三角形AC边上的高，最大值是BC的长度，容易求出的最大值和最小值;(3)根据垂线段最短和轴对称可知，点D唯一时，只能是点D是垂足时和点D在点A关于垂足的对称点的下方时两种情况。

发现 满足条件的直线就是AC所在直线，A、B、C三点到这条直线的距离之和的最小值就是(m+n)的最小值。

【答案】解：探究

12 15 84……………………………………………………3分

拓展

(1)由三角形面积公式得 ， ………………………………4分

(2)由(1)得 ， ， ∴m+n= = ……………………5分

由于AC边上的高为 ∴x的取值范围为

∵(m+n)随x的增大而减小， ∴当x= 时，(m+n)的最大值为15;……………………7分

当x=14时，(m+n)的最小值为12. …………………………8分

(3)x的取值范围是 或 …………………………10分

发现

AC所在的直线…………………………11分

最小值为 …………………………12分

【点评】此题为探究题型，前半部分难度较小，在确定x的取值范围时，学生不容易想到;第(3)中x的取值范围也不容易想到，是本题的难点。探究就是上边知识点的一个应用，相对来说简单一些。整体来说，此题难度偏难，有一定挑战性。

24. (2012•湖北省恩施市，题号24 分值12)如图12，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0)，C(2,3)两点，与y轴交与点N。其顶点为D。

(1求抛物线及直线A、C的函数关系式;

(2)设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若抛物线对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上任意一点，过E作EF∥BD，交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点E的坐标;若不能，请说明理由;

(4)若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC面积的最大值

【解析】(1)直接将A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c和y=kx+b即可。

(2)本题实质是在直线x=3上找一点M使MN+MD的值最小。作N关于x=3的对称点，连接D N1，求直线D N1和x=3的交点可得m的值;

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