中考数学开放探索型问题试题归类

(3)BD、EF是平行四边形的邻边，分点E在线段AC和线段AC(或CA)延长线上两种可能来考虑。BD长可求，EF=BD，点F和点E横坐标相同，点F纵坐标等于点E纵坐标加(或减)BD长度，设点E(x,y)，则点F坐标(x,y+3)[或(x,y-3)],代入抛物线表达式可求解;

(4)作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H，则点H和点P横坐标相同，设二者横坐标为x，根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标，进而用x表示PH的长度，根据△PAC面积等于 PH×AQ(AQ为定值)可讨论其最值。

【答案】解：设直线AC的解析式为:y=kx+n，点 A(-1,0)，C(2,3)在A\C上，可得：

解得:k=1,n=1

∴AC的解析式为：y=x+1;

把A(-1,0)，C(2,3)y=-x2+bx+c

解得b=2,c=3,

∴抛物线的解析式为y= -x2+2x+3，

∴N(0,3)D(1,4).

(2) 作N关于x=3的对称点N1，连接DN1，则N1(6,3).设直线D N1的解析式为y=px+q，则有：

，∴p= ，q= ,∴D N1的解析式y= x+ ，当M(3，m)在D N1上时，MN+MD的值最小，∴m= ×3+ = ;

(3)易知B(1,2)，又D(1,4)∴BD=2.因为点E在AC上，设点E(x,x+1),

1°当点E在线段AC上时，点F(x.x+3)，代入y= -x2+2x+3，得x+3=-x2+2x+3，

解得x=0或=1(不符合题意舍去)，∴E;

2°当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F(x.x-1)，代入y= -x2+2x+3，得x-1=-x2+2x+3，解得x= ，所以E( , )E( , )

综上所述，当点E(0, 1)、( , )或( , )时以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形;

(4)作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H。

设H(x,x+1)，则P(x, -x2+2x+3),所以PH=(-x2+2x+3)-(x+1)= -x2+ x+2，

又∵S△PAB=S△PAH+ S△PBH= PH×AQ= (-x2+ x+2)×3= (x- )2+ ，

∴△APC面积的最大值是 。

的交点可得m的值;

【点评】本题是存在性探索性问题，在解决这一类存在性探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来;然后再根据已知条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否则不存在，探索过程就是理由.本题主要考查了用待定系数法求解析式、勾股定理、解方程组等，用到的数学数学有函数思想、方程思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想等，题目综合性强、难度大，但是考查的知识面较广，是一个区分度很大题目。

28.(2012湖南衡阳市，28，10)如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2，1)，点P(a，b)在抛物线上运动.(点P异于点O)

(1)求此抛物线的解析式.

(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，

①求证：PF=PR;

②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由;

③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状.

解析：(1)根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式.

(2)①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证;

②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可;

③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状.

答案：解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，

∴A、D关于抛物线的对称轴对称;

∵E是AB的中点，

∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B(2，1)

∴A(2，﹣1)、D(﹣2，﹣1);

由于抛物线的顶点为(0，0)，可设其解析式为：y=ax2，则有：

4a=﹣1，a=﹣

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2.

(2)①证明：由抛物线的解析式知：P(a，﹣ a2)，而R(a，1)、F(0，﹣1)，则：

则：PF= = = a2+1，PR= = a2+1.

∴PF=PR.

②由①得：RF= ;

若△PFR为等边三角形，则RF=PF=FR，得：

= a2+1，即： a4﹣ a2﹣3=0，得：

a2=﹣4(舍去)，a2=12;

∴a=±2 ，﹣ a2=﹣3;

∴存在符合条件的P点，坐标为(2 ，﹣3)、(﹣2 ，3).

③同①可证得：QF=QS;

在等腰△SQF中，∠1= (180°﹣∠SQF);

同理，在等腰RPF中，∠2= (180°﹣∠RPF);

∵QS⊥BC、PR⊥BC，

∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°

∴∠1+∠2= (360°﹣∠SQF﹣∠RPF)=90°

∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形.

点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强.在答案题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论

27. (2012贵州省毕节市，27，16分)如图，直线 1经过点A(-1，0)，直线 2经过点B(3,0), 1、 2均为与 轴交于点C(0, ),抛物线 经过A、B、C三点.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)抛物线的对称轴依次与 轴交于点D、与 2交于点E、与抛物线交于点F、与 1交于点G。求证：DE=EF=F G;

(3)若 1⊥ 2于 轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。

解析：(1)已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出

抛物线的解析式;

(2)D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出

其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度.D是对称

轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求;E是对称轴

与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交

点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所

以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出.至此本问解决;

(3)△PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论.如解答图所示，在解答过程中，充分注意到△ECG为含30度角的直角三角形，△P1CG为等边三角形，分别利用其几何性质，则本问不难解决.

解答：解(1)依题意，得.

， 解得

∴抛物线的函数表达式是y= x2- x- ;

(2)∵直线l1经过点A(-1，0)，C(0，- )，∴直线l1的函数表达式为y1=- x- .

∵直线l2经过点B(3，0)，C(0- )，∴直线l2的函数表达式为y2= x- .

又∵抛物线的对称轴是x=1，∴点D的坐标为(1，0)，点E的坐标为(1，- )，

点F的坐标为(1，- )，点G的坐标为(1，-2 ).∴DE=EF=FG= ;

(3)P点的坐标为：P1(2，- )，P2(1， ).

理由：分三种情况：

①以G点为圆心，GC长为半径作弧，交抛物线于点C和点P1，连结CP1、GP1，所以GC=GP1.由等腰三角形的三线合一性质(或抛物线的对称性)可知点P1与点C关于直线x=1对称，所以点P1的坐标为(2，- );

②以点C为圆心，CG长为半径作弧，因为∠CGF=30°，所以∠CGP1=60°，即△CGP1是等边三角形，又因为AC=CG=2，所以作出的弧与抛物线交于点A和点P1，但A、C、G在同一条直线上，不能组成三角形.

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