中考数学开放探索型问题试题归类

(3)①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，

y=- ×10+2 =2 -6.

∴点P1(10，2 -6).

②当点Q在AB上时，

如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，

则BH=QH=14-a，

在Rt△OQH中，a2+(14-a)2=100，

解得a1=6，a2=8.

∴Q(-6,8)或Q(-8,6)，

当Q(-6,8)时，连接QF交OP2于点M，

则点M(2,4).

此时直线OM的函数解析式y=2x.

解得

∴点P2( ， ).

当Q(-8,6)时，同理可求得P3( ， ).

如图3，有QP4∥OF，QP4=OF=10，

设点P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为(x-10).

∵yQ=yP，直线AB的函数解析式y=x+14.

∴(x-10)+14=- x+2 .

解得x= ，可得y= .

∴点P4( ， ).

③当Q在BC边上时，如图4，OQ=OF=10，点P5在E点，

∴点P5(0，2 ).

综上所述，满足条件的点P的坐标为：

P1(10，2 -6)，点P2( ， )，P3( ， )，P4( ， )，P5(0，2 ).

【点评】：本题是一道综合性大题，要注意灵活应用所有的知识点，另外在考虑问题时要全面，不要丢解.第(3)小题中，共四种情况，易出现丢解现象.

25. (2012广州市，16， 3分)(本小题满分10分)如图10，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC= ( )

(1)当 =60°时，求CE的长;

(2)当 时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF?若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由。

②连接CF，当 取最大时，求tan∠DCF的值。

【解析】(2)可以按照k等于1、2、3等正整数时，把∠EFD分为几等分，从而确定k的值是否存在。(3)找出变量BE，找出 的关于自变量的函数关系式，计算出 取得最大值时，得到自变量BE的值，计算tan∠DCF的值。

【答案】解：(1)如果∠ABC=60°，在Rt△ABC中，CE=BCsin60°=10 =5

(2)①取BC的中点G，连接FG，CF，则AF=BG=DF=CG

∵AF∥BG,FD∥CG

∴四边形ABGF，四边形FGCD都是平行四边形

又∵AB=5，BC=10，

∴AB=BG=FG=CG=5，

∴四边形ABGF，四边形FGCD都是菱形

∴∠3=∠4，AB∥FG

∵AB∥FG

∴∠1=∠2

设GF交CE于M

则MG∥BE

∴

∴EM=MC

∵BE⊥CE

∴GM⊥CE

∴FM垂直平分CE

∴FE=FC

∴∠2=∠3=∠4=∠1

∴∠EFD=3∠AEF

∴k=3

②设BE=x，则AE=5-x

过点F作AB的垂线，垂足为N，则∠N=∠BEC=90°

∵AF∥BG

∴∠NAF=∠B

∴△NAF∽△EBC

∴

∴AN= ，FN= CE

EN=AE+AN=5-x+ =

在Rt△EBC中，

在Rt△NEF中， =

∴y= = + ]

=

∵-1<0

当 时， 取最大值。

∴FN= ，NE=

∴tan∠DCF=tan∠NEF= = 。

【点评】第(2)问转化为把∠EFD分为k等分，证明其中的一份等于∠AEF的问题。确定k的值。第(3)关键是列出二次函数，计算当 取得最大值时，确定BE的长，也就是确定点E的位置，把∠DCF放在直角三角形中求其正切值。

25.(2012江苏盐城，25，10分)如图①所示，已知A、B为直线 上两点，点C为直线 上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥ 于点D1，过点E作EE1⊥ 于点E1.

(1)如图②，当点E恰好在直线 的上方时(此时E1与E重合)，试说明DD1=AB

(2)在图①中，当D、E两点都在直线 的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图③，当点E在直线 的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系(不需证明).

【解析】本题考查了正方形和全等三角形的判定和性质.利用两三角形全等后的对应边相等与对应角相等,是解决本题的关键(1)图②是特殊位置，直接证明三角形全等解决;

(2)先猜想三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，然后根据图②启示，构造两对全等三角形证明.

(3)类比归纳、猜想出结论.

【答案】(1)∵四边形CADF和四边形CBEG都是正方形，且DD1⊥ ，∴∠DAC=∠ABC=∠DD1A=900，又∵∠ADD1+∠DAD1=900，而∠DAD1+∠ABC=900，∴∠ADD1=∠ABC，在Rt△DD1A和在Rt△BEE1中，∵∠ABC=∠DD1A，∠ADD1=∠BAC，AD=AC，∴△DD1A≌△BEE1，∴DD1=AB.

(2)AB=DD1+EE1.理由如下：过C作CM⊥AB于M，易得：△DD1A≌△ACM，∴DD1=AM，同理：

△BCM≌△EBE1，∴EE1=BM，∴AB=AM+BM= DD1+EE1.

(3)AB=DD1-EE1.

【点评】本题是对平面几何推理证明的考查，证明两条线段相等或两角相等，常用的方法就是先证得三角形全等，利用全等形的性质，推出结论，考查了同学们从特殊到一般的推理过程.

(2012四川成都，28，l2分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 ( 为常数)的图象与x轴交于点A( ，0)，与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且 ≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B.

(1)求 的值及抛物线的函数表达式;

(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在，请说明理由;

(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ， 两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程.

解析：第(1)小题可用待定系数法进行解决;对于第(2)小题“存在”问题，若存在要指出，若不存在要说明原因。

答案：(1)∵一次函数 经过点A( ，0)，

∴

∴

则C的坐标为(0， )

∵二次函数 经过点A(-3,0)、点C(0， )，且以直线x=1为对称轴

则点B的坐标为(5,0)

∴

解，得

∴二次函数为

(2)存在

根据题意，FE∥AC

要使ACEF为平行四边形

则CE∥AF

∵E在抛物线 上

∴E是C关于直线x=1的对称点，则E点的坐标为(2， )

∴

(3)要使△ACP的周长取得最小值，即为AP+CP最小

E是C关于直线x=1对称点，连接AE交对称轴于点P，则PE=CP

此时，△ACP的周长取得最小值。

如图所示，CE交x=1于点G，x=1交x轴于H

则

∴点P的坐标为(1,3)

设过点P的直线的直线 的解析式为

则

则△=

∴

∴

∴

∴ 不是定值。

点评：在本题中，第一小题考查了是知识的灵活应用能力和运算能力，第二小题是探究题，需要同学们进行细心地观察、大胆地猜测、灵活地验证。

28.(2012四川内江，28，12分)如图14，已知点A(-1，0)，B(4，0)，点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M.

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