中考数学开放探索型问题试题归类

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，- )。

【点评】：本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、勾股定理的应用、等腰三角形的判定等知识点.主要考查学生数形结合的数学思想方法.

24.(2012浙江省义乌市，24，12分)如图1,已知直线y=kx与抛物线 交于点A(3，6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;

(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM, 交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由;

(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重

合),点D(m，0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探

究：m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

24.【解析】(1)将点A代入y=kx可求出k的值。再由勾股定理求出OA的长。

(2)首先讨论QH与QM重合时易知 =2;当QH与QM不重合时，易知△QHM∽△QGN， .

(3)延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R，易知△AOR∽△FOC，即 ，可求得OF的长即可求出F的坐标。设点B(x， )，过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF， ，可求B的坐标，易求得AB的长。也可设出直线AF，将A、F代入求其解析式，然后将其与抛物线联立，求出B的坐标，进而求AB的长。

再易得△ABE∽△OED， 可求抛物线的顶点坐标，再画出几何关系图，根据不同情况求出E的个数.

解：(1)把点A(3,6)代入y=kx 得6=3k ， ∴k=2 ，

∴y=2x ………………………2分

OA= ………………………………………………………………3分

(2) 是一个定值 ，理由如下：

过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H .

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合,

此时 ;

②当QH与QM不重合时，∵QN⊥QM,QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上

∴∠MQH =∠GQN 又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN …5分

∴

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 …………………7分

(3)延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

∵∠AOD=∠BAE ∴AF=OF ∴OC=AC= OA=

∵∠ARO=∠FCO=90° ∠AOR=∠FOC

∴△AOR∽△FOC ∴

∴OF= ∴点F( ，0)

设点B(x， )，过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF

∴ 即 解得x1=6 ,x2=3(舍去)

∴点B(6,2) ∴BK=6-3=3 AK=6-2=4 ∴AB=5 …8分

(求AB也可采用下面的方法)

设直线AF为y=kx+b(k≠0) 把点A(3,6)，点F( ，0)代入得

k= ，b=10 ∴

∴ (舍去) ∴B(6,2)∴AB=5 …8分

(其它方法求出AB的长酌情给分)

在△ABE与△OED中

∵∠BAE=∠BED ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB ∴∠ABE=∠DEO

∵∠BAE=∠EOD ∴△ABE∽△OED ………………………………………9分

设OE=x，则AE= -x ( ) 由△ABE∽△OED得

∴ ∴ ( )…10分

∴顶点为( ， )，

如图，当 时，OE=x= ,此时E点有1个;当 时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个.

∴当 时，E点只有1个 ……11分

当 时，E点有2个 ……12分

【点评】本题综合考查了反比例函数的性质、相似三角形的性质，抛物线的性质、一次函数的性质，是一道对学生能力要求较高的题.

26.(2012重庆，26，12分)已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3。E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.

(l)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长;

(2)将(l)问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B'EFG，当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t，正方形B'EFG的边EF与AC交于点M，连接B'D,B'M，DM，是否存在这样的t，使△B'DM是直角三角形?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由;

(3)在(2)问的平移过程中，设正方形B'EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.

解析：用t表示有关线段的长度，是解决本题的关键。

答案：(1)如答图1所示，设BE长为x，∵△AGF∽△ABC ∴ ，∴x=2,即BE=2

(2)如图2，由题意知，BB’=t,DH=3,BH=2,CE=4-t, ∵△CEM∽△ABC, ∴

ME=2- ，根据勾股定理得：B’M = ，B’D =t -4t+13,DM = +t+1

分三种情况讨论：①若∠DB’M=90°,则有B’M + B’D = DM ，求得t= ,②若∠B’MD=90°,则有B’M + DM = B’D ，求得t= -3,③若∠B’DM=90°则有B’D + DM = B’M ，无解

(3)当0≤t< 时,s= t

当 ≤t<2时,s=- t +t-

当2≤t< 时,s=- t +2t-

当 ≤t<4时,s=- t+

点评：解决本题的关键是会用t表示出各个线段的长度，然后用勾股定理就可求出答案。

24. (2012浙江丽水12分，24题)(本题12分)在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB= ，如图，把△ABC的一边放置在x轴上，有OB=14，OC= ，AC与y轴交于点E.

(1)求AC所在直线的函数解析式;

(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积;

(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧?若存在，请求出所有符合题意的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

【解析】：(1)解直角△OCE求出E点坐标，再利用待定系数法求直线的解析式.

(2)解直角三角形OCE，求出EG，OG，利用三角形面积公式即可求面积;(3)应分类加以讨论.

解：(1)在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE= ，∴点E(0，2 ).

设直线AC的函数解析式为y=kx+2 ，有 k+2 =0，解得k=- ，

∴直线AC的函数解析式为y=- x+2 .

(2)方法1：在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE= ，

设EG=3t，OG=5t，OE= = t，∴2 = t，得t=2.

故EG=6，OG=10.

∴S△OEG= OG×EG= ×10×6=30.

方法2：在Rt△OCE中，∵tan∠OCE= ，∴sin∠OCE= .

∴OG=OCsin∠OCE= =10.

在Rt△OEG中，EG=OGtan∠OCE=10× =6，

∴S△OEG= OG×EG= ×10×6=30.

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