体验：问题解决策略的教学之魂：教版小学数学五年级下册“解决问题的策略（倒过来推想）

　　[缘起]
　　苏教版小学数学五年级下册“解决问题的策略（倒过来推想）”，教材安排了两个例题，其主体部分如下图所示：
　　 
　　笔者和一线教师在讨论这部分教材时，有教师认为这两个例题的编排顺序颠倒了。理由是例1虽然出示的是果汁变化的直观图，但题中有甲、乙两个未知量，且两个未知量都在发生着变化，题中也没有直接告知两杯里的果汁最后有多少毫升。而例2变化的只是小明一个人的邮票张数，最后的结果也是已知的，例2数量关系更简单，倒过来想的方法更典型，教学时应该将这两个例题调换使用。当时，笔者和其他教师都认为这种说法有道理。但事后仔细思考，似乎并不那样简单。
　　[初步思考]
　　“解决问题的策略”是苏教版国标教材中新增加的内容，作为小学数学教材中出现的“解决问题的策略”， 它的教学应该不同于社会上流行的“奥数”训练。那么，它们之间的区别又在哪里呢？略加思索可以发现，“奥数”训练追求的是在最短的时间内让学生掌握相关的解题技巧，它关注的是方法的掌握。而教材中安排“解决问题的策略”的宗旨是加强策略的形成和对策略的体验，要让学生通过学习形成良好的“策略意识”。具体表现为能体会策略的特定价值与意义，掌握策略的基本思路和过程，能适当地将策略与实际问题匹配，主动运用策略，获得问题解决后的成功体验，它更多地强调“过程”的价值和策略的丰富内涵。与此相对应，教材的编排更多地突出了让学生经历策略形成、体验的过程，例题是按照“归纳”的逻辑顺序而非“演绎”的逻辑顺序来编排的。显然，教师在认识教材时，有意无意地忽视了对“解决问题的策略”教学意义的全面深入理解，还习惯于以“演绎”的方式看待学习过程，才会出现认为例题颠倒的误解。
　　之后，此事又引起我们更多的思考，本课的教学如何实现从关注结果到关注“过程体验”的转变呢？
　　[教学尝试]
　　一、游戏导入，激活经验，感知有些问题可以倒过来推想
　　游戏：“破译密码”。请学生用1～4四张数字卡片任意组成密码反扣在黑板上，教师将其中的第一、第三张交换位置，再将第二、第四张交换位置后翻开。
　　师：你们能发现这位同学设置的密码吗？
　　师：你是用怎样的方法破译的？
　　借此提问，让学生感受到生活中的有些问题是可以倒过来推想的。
　　二、分步呈现，突出特征，知道什么样的问题可以倒过来推想
　　1.教师出示甲、乙两杯不同量的水（甲杯多、乙杯少），问：你能说出两杯中各有多少毫升的水吗？
　　2.师：如果这两杯水共400毫升，你能准确地说出两杯中各有多少毫升的水吗？
　　3.师（边演示边说）：从甲杯中倒入乙杯40毫升。现在你看到了什么？
　　教师板书：甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯水同样多。
　　师：你能知道原来两杯水各有多少毫升吗？
　　在引导学生思考、讨论后，要求学生用自己喜欢和熟悉的方法把思路表达出来。
　　选择学生中出现的几种典型方式进行展示交流，如画图法、列表法等。
　　4.师：为什么告诉你两杯水共有400毫升，你不能知道原来两杯水各有多少毫升，而告诉你甲杯倒入乙杯40毫升后同样多，你就能知道原来两杯水有多少毫升？
　　引导学生得出：如果知道了两杯水的变化过程和最后的结果这两个条件，我们就可以运用倒过来推想的办法得到原来杯子中的水有多少毫升。
　　三、运用对比，熟悉策略，掌握怎样倒过来推想
　　找出下面适合用“倒过来推想”策略解决的问题，并列式计算。
　　1.一辆公共汽车从起点站出发时有乘客54人。中途下车12人，又上车18人，这时车上有乘客多少人？
　　2.一辆公共汽车从起点站出发后，中途下车12人，又上车18人，这时车上有乘客60人。这辆公共汽车出发时有乘客多少人？
　　3.老师今年的年龄乘2，再减去6是46，老师今年几岁？
　　在学生汇报后引导归纳：倒过来推想只要按照条件变化，从最后的结果出发进行逆运算就可以了。
　　四、强化变式，优化策略，知道借助手段倒过来推想
　　1.增加变化的步骤，将例2改编为：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军10张，送给小红12张，送给小平8张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？
　　师：当步骤变化比较多时，你有什么好办法理清思路？
　　2.出示“练一练”：小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张。小军原来有多少张画片？
　　师：你是怎样理解“画片的一半还多1张”的？
　　师：可以把用一句话表达的多个变化过程分解为几句话来想。
　　3.说说你是怎样理解“倒过来推想”的策略的。
　　五、实际应用，巩固策略，提升倒过来推想的应用价值
　　1.基本题。（题略）
　　2.趣味题。
　　①有一种水藻，每隔一天在水面的面积就要繁殖到原来的两倍。试验员在一只实验瓶中放进这种水藻，10天刚好贮满整个瓶子。那多少天可以贮满半瓶？
　　②数学诗《李白喝酒》：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？
　　[认识与启示]
　　1.体验策略离不开真实具体的问题情境。策略的丰富内涵是“镶嵌”在具体情境中的，只有在具体解决实际问题时，学生才能亲身实践如何把现实问题提炼、转换为数学问题，并在这一过程中全面理解数学策略的内涵。例1正是“镶嵌”了“倒过来推想”策略的现实情境，学生需要在各种信息的辨析中作出合理决策，这不仅体现了“倒过来推想”的必要性，更突出了适用“倒过来推想”策略的问题模型。对策略价值的体验认可，更是在实际运用中才能产生，越是《李白喝酒》这样现实有趣的问题就越能激发学生的身心投入，就越能获得深刻的情感体验。
　　2.激活学生的经验是获取策略体验的基础。要让学生获得对策略深层次的感悟，必须充分利用学生已有的生活经验和数学经验。在导入环节，我们设计了“破译密码”游戏，通过简单的游戏动作，激活学生在生活中已经积累的“可以依次还原”的经验，为学习“倒过来推想”的解题策略提供了体验的“锚桩”。在教学例1时，从没有任何条件，到知道“两杯共400毫升”，再到“甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯水同样多”，在学生解题经验的一次次“自提取”过程中，突出了与“策略”相匹配的问题特征。有必要指出的是，激活经验不是变相告诉，教学中要警惕名为启发引导、实为暗示告知的所谓铺垫。要避免在教学的初始阶段就简单化地直接“点破天机”。
　　3.“做数学”是体验策略的重要方式。数学学习需要将缄默的内在体验表达出来，将内在的思维活动、情感活动暴露出来，实验、操作、画图、列表、游戏等活动都是学生理解策略、体验策略、内化策略的好方法。各人对知识的表征方式不同，有的习惯用图，有的习惯用文字，有的习惯用数字，我们应该允许、鼓励学生选用适合自己的方式来表达对策略的理解。要充分创造条件让学生“做策略”，延缓抽象化思考的进程，以达到对策略的充分体验和准确概括。
　　4.体验策略的过程应该是不断确信的过程。体验是需要时间的，学生学习“解决问题的策略”不应该是“一步到位”的，教师要敢于拉长策略展现的时空，使体验策略的过程成为学生在教师帮助下不断获得确信的过程。 就本课的学习而言，我们将学生对“倒过来推想”策略的体验划分成了五个阶段，从初步形成策略到熟悉策略，从熟悉策略到优化策略，从优化策略再到提升策略，应步步为营，逐步系统化，绝不是一蹴而就即能达到目的的。