加法和减法互为逆运算吗？

　　　　数学讲究严谨，因此教师课堂上所说的每一句话都不能犯知识性的错误，不少教师在教学中都想当然地认为，既然“减法是加法的逆运算”，那么“加法也一定是减法的逆运算”，甚至认为“加法与减法互为逆运算”。但是，大多数初等数学理论书籍中都只说“减法是加法的逆运算”，而对“加法是不是减法的逆运算”和“加法与减法是不是互为逆运算”则闭口不谈，小学数学教科书与教学参考书也是这样处理的，另外查阅了许多资料也是如此。其实，要说清楚这个问题，首先要对“运算”和“逆运算”进行定义，弄清楚“逆运算”的内涵。
　　　　一般来说，运算都指代数运算，它是集合中的一种对应。对于集合A中的有序元素对a、6，有集合A中唯一确定的第三个元素c与它们对应，叫做集合A中定义了一种“运算”。由这个运算可以得出两个运算，就是把a、6中的一个当作所求的，而把c当作已知的，这样得出的运算叫做原来运算的“逆运算”。它的第一个逆运算是：对于元素对c、6，使元素“与它们对应；它的第二个逆运算是：对于元素对ca，使元素6与它们对应。如果一个运算满足交换律，即这个运算对于任意一对元素a、b或b、a，永远得到同一结果，那么这个运算的两个逆运算是一致的。也就是说，存这种情况下，这个运算有唯一的“逆运算”。
　　　　例如，对于整数集来说，任意两个整数的加法运算满足加法交换律，所以加法有唯一的逆运算——减法。又如，任意两个整数的乘法运算满足乘法交换律，所以乘法有唯一的逆运算——除法。
　　　　但是，每一个运算并不都有逆运算。例如，在自然数集合中，定义了自然数的加法，而它的逆运算——减法，对于任意两个自然数a、b，并不是总能施行的：例如2+3=5，已知5、3或已知5、2，都可以用减法来求另一个加数，这时我们就可以说“减法是加法的逆运算”。又如5-3=2，已知5、2或已知3、2，这时不能都用同一种，运算(加法)求另一个数，所以加法不是减法的逆运算。即使认为减法运算有两种不同的“逆运算”——加法运算和减法运算，就说“减法的逆运算是加法”、“加法和减法互为逆运算”是不对的，甚至只说“加法是减法的逆运算”也是不妥当的。如果要说，就应该说成“加法是减法的逆运算之一”。如同“除法是乘法的逆运算，而乘法不是除法的逆运算”一样，道理亦然。
　　　　同时，还有教师从辩证唯物主义角度出发，认为加法和减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算是对的。两个相互对立的事物，在一定的条件下可以相互转化，两种对立的运算，在一定条件下也可以相互转化。正运算和逆运算是对立的双方，是现实世界中正与逆的矛盾在数学中的反映，因此它们相互依存、不可分割，并在一定的条件下相互转化。数的加法和减法、乘法和除法互为逆运算，都可以相互转化。加法可以转化成减法，反之亦然。另外，加法和减法在转化的前提下统一起来了，形成了代数和的概念。可见，没有转化，就没有统一。同时，笔者认为小学数学也不必讲得那么深奥，简单点就可以了。但数学更应讲究其科学性和严谨性，不能因为我们暂时说不清楚就迁就使然，草草了事
　　　　以上观点，提出并与同行商榷，希望有更多、更准确的意见。