论数学教学中理解错误的合理性

　　在数学学习中有一些错误是学生基于自己的知识与经验在构建知识的过程中产生的，具有一定的合理性。理解错误的合理性有利于数学教学动态资源的开发，有利于激发学生的学习动力，有利于了解学生的认知基础，有利于提高教师的教学能力，我们可以从情境上、推理上及学生认知水平上三个角度理解学生错误的合理性。
　　
　　1　理解错误在情境上的合理性
　　现代学习论认为知识是情境性的，学生的学习是一种情境性学习，在数学学习中学生会基于自己的生活情境进行意义的建构，而学生在其具体生活情境中抽象出的数学知识不一定具有普遍性，从而可导致错误的产生，但这其中又往往蕴含了合理性成分。如在学习1/2+1/3=?时，教师先问学生应等于多少，让学生去探究。有很多学生认为是2/5，并给出了他的根据：“有一次投篮。我先投了两个球，进了一个；后来我又投了三个球，又进了一个球，我第一次进球的概率是1/2，第二次进球的概率是1/3，而总的进球概率是2/5，这不说明1/2+1/3=2/5吗?……”并且这一情况在国內外的教学中有同样的相似性，实际上在日常生活中有许多情况是满足这一规律的，如足球比赛的比分，溶液的混合问题等等，基于这些学生得出这一结论在情境上是合理的，并且其中含有一种数学化的过程，对学生来说也是一种数学发现的过程，但它不是一种更普遍的规律，不符合数学上的标准，因而这一结论又是错误的。教师理解了这种合理性，从学生的角度进行辩证分析、引导与提升，能激发学生不断增长的求知欲望，为学生解惑，让学生创造，使数学课堂教学得以创生。
　　
　　2　理解错误在推理上的合理性
　　学生在学习新的知识时，遇到规律性或相似性等问题，会基于自己已有的知识经验进行不完全归纳、类比等合情推理活动，而这种推理与数学上严密的演绎性推理不同。这种推理的结论有时是不正确的，但基于以前的知识经验又有一定的合理性。从推理上的合理性去理解学生存在的问题，这一点对挖掘错误的教育价值，让学生充分理解所学的知识是重要的。如在《找规律》(苏教版四年级下册)第二课时教学有如下练习：
　　题一：3位小朋友每两人通一次电话，一共通了多少次?
　　如果用A、B、C分别代表这三位小朋友，打电话的不同路线有三种：A与B；A与C；B与C一共通了3次电话：
　　题二：三位小朋友互相寄一张节日贺卡，一共寄了多少张?
　　有些学生解决了题一后，在做题二时把题二与题一进行类比，认为三位小朋友互相寄一张节日贺卡一共也是三张。事实上。“每两人通一次电话”只要一次电话，而两人“互相寄一张节日贺卡”是寄了两张节日贺卡，三人一共要寄六张贺卡。虽然结果错了，但这些学生运用了两题中条件与方法上的一些相似性进行类比，其中又有合理的地方，教师要从学生推理的角度深入分析，让他们理解二者的不同，认清错在哪儿。
　　
　　3　理解错误在学生认知水平上的合理性
　　根据皮亚杰的认知发展阶段理论，处于不同年龄段的学生其认知水平是不同的，并且同一年龄段的学生也可能存在差异，这种差异导致不同的学生对同一个问题产生不同的学习方式，产生不同的理解，从而得出不同的结论，有的是正确的，而有的是错误的，这种错误从学生的认知水平上来说是有其合理性的。如在《认识钟表》(苏教版)一课时，题一(如图1)给出钟表面，学生一般能准确写出是几时几分，而问题反过来，题二给出几时几分，让学生在钟表面上画出时针与分针的位置，有很多学生做错了。
　　
　　进一步分析发现。学生的错误主要是时针都准确地指在“2”与“9”上，而没有想到分针动，时针也要动，并且分针与时针的运动之间还有12:1的比例关系。对这种动态的内在联系的认识。在认知能力上超出了一些学生的能力水平，教师应认识这一点，对学生应提出多层次的要求。而不是一概而论。