“倒数的认识"教学感悟

    编者语：理解倒数并非难事。求一个数的倒数是对学生熟知的整数、分数、小数性质及其运算的应用，对学生来说算是很好的运算练习。但是，若仅止步于此，那顶多就是把数学教成为无聊的游戏，不过是在学生所学的众多数学概念中增学了一、二概念而已。王孙君老师在这篇文章中谈到在学生学习倒数时，应该真正理解“乘积是l”、“两个数”、“互为”的内涵。但通览全文，我们看到的倒数教学的重点仍是让学生掌握求各种数(整数、分数、小数)的倒数的方法。同教学其他数学概念一样，一概念、二方法，掌握了、会了，教学任务就算完成了。教学过程中，对“倒数”的意义以及“乘积是1”的思想内涵并未挖掘。数学的思想并未放射光辉，学生仍未能体会到“倒数”的精妙之处。这里有个前提，就是教师要首先认识到“倒数”的精妙之处。
提升或拓展学生对“倒数”的认识的是教师，让学生体会或认识到数学的思想力的还是教师。可惜，正是在．这方面，教师的作用被人们以至教师自己忽略了。教师的任务只剩下让学生发挥所谓的“主体

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    那么，什么是“倒数”的数学思想呢?
    首先，在小学阶段所学的数中，除了“零”，其他任何数都有对应的“倒数”，这是所有的数的共性。所有的数因此而与数字“1”建立了联系。这里，“1”这个数字比以往学生对“1’’的认识增加了非比寻常的意义(这正是需要教师帮助学生认识到的)，即“1”与互为倒数的两个数的乘积相等。这揭示了“1”与除“0”以外的所有的数都有着固定的亲缘关系。这相当于一座永恒的桥梁，这座桥梁承栽了几乎所有的数。这样，小学生除了认识到“1”是有无的开始，即先0后1外，通过加1的过程可以得到更大的数外，1还具有一个奇妙的性质，就是任何数乘以“1”还等于这个数，即1是用作表达“不变”的因数。因为“1”具有的这样的万能性质，而使其有了一个非素非合的特立独行的地位。现在好了，“1”与“倒数”之间竞然有这样直接的关系，“l”等于任何两个互为倒数的数的乘积。考虑到除了“零”以外，所有的数都有倒数，这相当于1和几乎所有的数都有关系。这是“l”的又一个事关整体的性质，极其重要。那么在小学所学的数中，还有没有与“1”类似的，能够与其他所有的数发生联系的数呢。有!那就是“零”。任何数减任何数自己都等于零。就如同任何数除以任何数自己或任何数乘以自己的倒数都等于1一般。任何数乘以O都得零，而任何数乘以l都得自己，0和1真是地位独特的数，不可小视!
    这就提炼出了数学里面的一些思想，即对某些事物，一定要放在整体这个背景下来认识，才会认识的深刻。一是一、二是二，并不是认识事物的正确或有效的方法，而应该探究一与其他，其他与一究竞有何联系。
另外，1对于加法和l对于乘法的意义是不一样的，如果只从加法角度来研究1，1与其他的数的关系往往并不那么直接。而对于乘法运算，1与其他数的关系就密不可分了，由此可知：运算不同，1的作用是不同的。
总的来说，单独考虑“1”，意义不大，将“1”置于不同的环境或背景下，“1”这根“冰棒棍”是那样的神奇独特，给人的感觉是围绕着“1”似乎还应有更多的故事。是的!到中学、到大学，我们的确会看到“l”的更多的表现。
    如果老师们对“倒数”，对“1”有了如上的认识，那么，在讲“倒数的认识”时，就有可能让学生认识得更深刻些、思想更丰富些、视野更宽阔些。自然，能力就会得到真正的提高。

 　

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