优化——算法多样化的归宿

　　 缘于对“算法多样化”的热衷，“你喜欢用什么方法计算就用什么方法计算”一度成为数学课堂中的一句时髦话语。在多数课堂上教师花费大部分时间引导各种算法，然后一律称好，最后让学生以自己喜欢的方法计算结果。课标提倡不急于优化，有些教师干脆不优化了。
　　的确，提倡“算法多样化”是课程标准关于计算教学的亮点。这满足了课堂中学生个性化的学习需求，承载着“要使不同的人在数学上得到不同的发展”的神圣使命，其优点显而易见，但当人们对算法多样化趋之若鹜，纷纷效仿之时，我们有理由对这种热现象进行冷思考。对于算法多样化的计算，我们理应变得理性起来。算法多样化的效用关键在于呈现后，教师组织和引导学生正确分析、认识各种算法的特点和价值，学会在不同情况下灵活选择恰当的算法。笔者认为提倡算法多样化，其归宿必然是优化。
　　
　　一、摒弃无原则放任低层次思维的算法
　　
　　学生之间的差异是客观存在的，对一些低层次思维的算法，教师不能放任自流而美其名曰尊重学生。教师要善于引导学生对算法进行分析比较，在质疑、辩论中促进低层次思维学生的发展，这无疑是教学的本质功能。如一位老师在教学18+7时，学生想出了多种不同的算法：
　　生1：8+2=10，10+5=15，15+10 =25。
　　生2：7+3=10，10+5=15，15+10 =25。
　　生3：18+2=20，20+5=25。
　　生4：因为18+6=24，所以18+7=25。
　　生5：8+7=15，所以18+7=25。
　　教师问：还有其他的方法吗？
　　生6：在18后面接着数出7个数，是25。
　　生7：我用数小棒的方法，在17的后面一个一个数出来的。
　　由此看来，学生的算法的确存在着思维的差异性与层次性。显然这几种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制的过程。当学生已经能够借助表象，甚至符号和逻辑思维进行思考时，为什么一定要借助小棒和计数器呢？长此以往学生的思维如何发展，不正是培养了他们的主观意识吗？鼓励每位学生有自己独特的算法，并不等于他们可以满足现状，而拒绝学习新的、更有效的一般方法。教师应创设小组和全班交流的时机，通过对不同算法的特点对比，使学生学会怎样去寻找简捷的解决问题的思路，使所学的知识融会贯通，在更高层次上有更深刻的认识、更概括性的理解，进一步地培养学生思维的深刻性与敏捷性，从而提高思维质量，培养高水平的数学思维。
　　
　　二、防止将简单问题复杂化
　　
　　所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。算法多样化是指解决各种数学问题的方法多样化，即对同一个问题运用不同的方法来解决。教学中时常看到学生在课堂上为了受到教师及同学的表扬，有意标新立异地想出一些让人匪夷所思的算法。这对于学生的后续学习有意义吗？
　　案例：在展示解决问题情境图后，学生找出各信息如下：（1）三个跷跷板。（2）每个跷跷板上有4位小朋友。（3）跷跷板的两头分别有2位小朋友。（4）又来了7位小朋友。学生根据以上信息提出了各种问题，在解决“现在有多少位小朋友？”时产生了这样几种意见：A：4×3+7；B：2×6+7；C：5×3+4；D：6×3+1。试分析这几种方法，A和B的思路相同，都是用正在玩跷跷板的人数与又来的人数相加，只是在计算“正在玩跷跷板的人数”时分组不同而已。若要理解C和D却要颇费一番心思了。持C意见的同学是把后来的7人中的3人平均分到3个跷跷板上，凑出3个5，再加上余下的4人。D种算法除了与C有类似的理由外，另外一个想法是：把一个跷跷板上的4人平均分给另外两个跷跷板，出现2个6，后来的7人中也有1个6，共3个6，然后再加上剩下的1人。
　　新课程标准中明确提出要提倡算法多样化，面对这几种算法，我们应做怎样的评价呢？这还需慎重考虑。真正的算法多样化应该是在遵循正常的思维逻辑的前提下，从不同的视角，按不同的思路来解决问题。方法A和B符合我们的一般思维方式，它体现了事情发展的逻辑顺序。我们也可以推测持C、D意见的学生对A和B两种方法应该已经想到，只是在老师的一再鼓励下的思维发散，经过了自己的再组合、再创造。虽然后者的思维水平明显高于前者，但它有拼凑“乘加算式”之嫌，是在玩数字游戏，学生的思维水平、解决问题的能力并不能借此得到根本上的提高。即使它们有自己的视角与方法，却价值不大，并不适合大力提倡。那么该怎么处理呢？首先得保护好学生的创新意识，肯定学生对数学的积极态度和创新热情；然后，根据学生的理解水平形象、委婉地把筛选各种做法的依据传达给学生。比如，可以给学生打个比喻“假如你家就在学校旁边，非得七拐八拐再绕回来上学不可吗？”经常地把这种解决问题的思想传达给学生，相信学生便会带着这种想法选择方法了。
　　
　　三、数学的本质呼唤优化
　　
　　数学是讲优化的，算法优化的含意是要求寻找最简捷、最容易、速度快的方法，诚然，在多种算法中，有的并不见得有优劣之分，如长方形周长的求法，有的愿意用（长+宽）×2的方法，有的则用长×2+宽×2的方法，学生喜欢用哪个就用哪个。但是，一般情况下，总有个最基本、最一般或最佳的算法。教学中，都是有责任引导学生去比较、去评价，并使大家掌握那些公认的更好、更一般的算法，以便举一反三、闻一知百，否则就失去了教育的功能。请看一位教师教两位数乘两位数的新课实录：由实例引出23×12=？第一步，先由学生各自探索算法，分组交流（有10种左右），经过归纳不外乎以下三类：连加（23+23+……+23），连乘（23×3×4，23×2×6……），乘法分配律的应用（23×10+23×2……）。第二步，由学生评价，一致认为三类算法都合理，但第一类太麻烦，其他两类各有优势。第三步，教师将题目改为23×13，请学生用自己喜欢的算法计算，结果学生都选择23×10+23×3，此乃笔算乘法的算理。此时，教师便因势利导引入了乘法竖式，并使学生体会到它的优越性：能将乘法算理以固定而简明的程式显示，操作性强，简捷而不易出错，并具有一般性。我认为这种教学是正确的，促进了学生的发展，才是真正凸现了算法多样化的实质。算法多样化绝非是越多越好，切忌一些无价值的重复。总之，一切要从儿童的实际出发。
　　鼓励算法多样，引导学生比较，教师不急于评价各咱算法，但不是不能评价。就学生自己的思维，有时很难辨别哪种更优。适合学生的方法不一定是最好的方法，一些基本的方法学生还是要人人都会。一般通用的方法还是要教的，否则要你老师干什么用呢？当然也不要强求学生必须学哪一种，但要适当引导！我的做法是：新课标提倡算法多样化，只是说提倡，没有说规定学生一定要掌握算法多样化；我在教学中碰到这种类型的题目时，鼓励学生算法多样化，但是不去刻意地追求算法多样化。让学生自己介绍解题方法，然后跟其他同学的方

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　　叶澜教授说：“没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了促进学生发展。”因此，教师应正确理解算法多样化的内涵，从而进行有效地教学，让每个学生都能在原有基础上得到发展。让学生从小就学会“多中选优、择优而用”这种思想方法正是对学生全面发展的负责。
　　
　　（选自《小学数学教师》）