以退为进解题策略例举

　　著名数学家华罗庚说过，关于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。这句话道出了解决数学问题的一个重要策略——以退为进，退是为了更好地进。运用这一解题策略，从复杂退到简单、从一般退到特殊、从抽象退到具体、从整体退到部分、从正面退到反面，就能使许多复杂的问题得以解决。现举例如下：
　　1.从复杂退到简单。
　　例1 修一条公路，第一天修好全长的一半多10米，第二天修好余下的1/3少3米，还剩125米没修。这条公路有多长?
　　分析与解答：此题比较复杂，我们不妨先退一步想：要是第二天修的正好是余下的1/3，那么剩下未修的就是125-3=122(米)，相当于第一天余下的1-1/3=
　　2/3，则余下的就是122÷2/3=183(米)。再继续这样想：要是第一天修的正好是全长的一半，那么第一天后余下的就是183+10=193(米)，相当于全长的1-1/2=1/2。所以，这条路的全长是193÷1/2=386(米)。
　　2.从一般退到特殊。
　　例2 求图中阴影部分的面积。(单位：厘米)
　　
　　分析与解答：此题解法不止一种，按照一般的解题思路来解答比较繁琐，如果采用特殊的方法——“翻折法”，问题则会得到迅速解决。沿着半径对称轴把左边的1/4圆翻折到右边，与右边的1/4圆重叠(如上图)。这样，左边的阴影部分就和右边的阴影部分拼凑成一个底为6厘米、高为3厘米的三角形，所以阴影部分的面积为6×3÷2=9(平方厘米)。
　　3.从抽象退到具体。
　　例3 某商品因滞销而降价1/10，后来该商品又成畅销物品，因而又提价1/10，问提价后与原价相比其价格是升了还是降了?
　　分析与解答：此题比较抽象，加之标准量在变化，更增加了解题的难度。如果把它们从抽象退到具体的问题上来讨论，问题就会迎刃而解。假设这件商品原价为1元，那么降价1/10后应卖1元×(1-1/10)=0.90(元)；成畅销物品后，又提价1/10，这时应卖0.90元×(1+1/10)
　　=0.99(元)。如此类推，不论该物品原价是多少，提价后与原价相比其价格总比原价降了它的1％。
　　4.从整体退到部份。
　　
　　分析与解答：此题用常规的先通分再加减的方法计算比较复杂。我们不妨先退一步，考察算式中一部分的情况，待找出规律后再来求整个算式的结果。
　　5.从正面退到反面。
　　例5 有一样重的5筐苹果，如果从每筐拿出30千克苹果，那么剩下的苹果正好能装满两个筐。原来每筐里装多少千克苹果?
　　分析与解答：此题如果直接从正面去分析，会束手无策。如果从条件的反面去思考，问题则会化难为易。从“剩下的苹果正好能装满个筐”去考虑，那么就可理解为“拿出的苹果能装满3个筐”。这样，原来每筐里装多少苹果就可求出，即30×5÷(5-2)=150÷3=50(千克)。
　　思考：
　　1.修一段公路，第一天修全程的1/3还多3千米，第二天修余下的1/2还少2千米，还剩下22千米没修完。求公路的全长是多少千米。
　　2.一艘轮船往返于甲、乙两码头一次。问静水中船行所花时间长，还是流水中船行所花时间长，或所花时间一样长?
　　3.当水结成冰时体积增加1/11，当冰化成水时，体积要减少几分之几?
　　6.某体校田径队原有运动员80名，其中女运动员占37.5％，后来调进女运动员若干名，这时女运动员占6/11。问后来调进女运动员多少名?
　　7.池塘水面上生长着浮萍，浮萍所占的水面面积每天增长一倍。经过100天后，整个池塘长满了浮萍。问经过多少天浮萍所占面积是池塘面积的一半?