2016年浙江中考数学押轴题归总解析

①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。

最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE= ﹣2。

②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。

最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。

【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。

(2)由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。

(3)由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小;②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。

20. (2012浙江义乌12分)如图1，已知直线y=kx与抛物线 交于点A(3，6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，说明理由;

(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

【答案】解：(1)把点A(3，6)代入y=kx 得;6=3k，即k=2。

∴y=2x。

∴ 。

(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：

如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H.

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时 。

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN。

又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。∴ 。

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。

∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。

(3)如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。

∴OC=AC= 。

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC。∴ 。∴OF= 。

∴点F( ，0)。

设点B(x， )，过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。

∴ ，即 。

解得x1=6，x2=3(舍去)。∴点B(6，2)。

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。

设OE=x，则AE= ﹣x ( )，

由△ABE∽△OED得 ，即 。

∴ 。

∴顶点为 。

如图3，当 时，OE=x= ，此时E点有1个;

当 时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个.

∴当 时，E点只有1个，当 时，E点有2个。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。

【分析】(1)利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。

(2)如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即 为定值.需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。

(3)由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED。在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度。设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式 ，这是一个二次函数.借助此二次函数图象(如图3)，可见m在不同取值范围时，x的取值(即OE的长度，或E点的位置)有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。

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