2016年浙江中考数学押轴题归总解析

(2)设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。

(3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分(i)点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时，根据(2)的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。

11. (2012浙江衢州10分)课本中，把长与宽之比为 的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：

(1)将一张标准纸ABCD(AB

(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB

第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲);

第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处;

第三步：沿直线DM折叠(如图2丙)，此时点G恰好与N点重合.

请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸?请说明理由.

(3)不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC= ，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.

【答案】解：(1)证明： ∵矩形ABCD是标准纸，∴ 。

由对开的含义知：AF= BC，∴ 。

∴矩形纸片ABEF也是标准纸。

(2)是标准纸，理由如下：

设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM。

∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE= ∠BAD=45°。

∴△ADG是等腰直角三角形。

∴在Rt△ADG中，AD= ，

∴ ，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸。

(3)对开次数：

第一次，周长为： ，

第二次，周长为： ，

第三次，周长为： ，

第四次，周长为： ，

第五次，周长为： ，

第六次，周长为： ，

…

∴第5次对开后所得标准纸的周长是： ，

第2012次对开后所得标准纸的周长为： 。

【考点】翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，矩形的性质，图形的剪拼，分类归纳(图形的变化类)。

【分析】(1)根据 ，得出矩形纸片ABEF也是标准纸。

(2)利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出 ，即可得出答案。

(3)分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律求出即可：观察变化规律，得

第n次对开后所得标准纸的周长= 。

12. (2012浙江衢州12分)如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.

(1)求该抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在，求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上，且不与点C重合)，△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O，∴c=0。

又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C，

∴ ，解得 。

∴抛物线解析式为 。

(2)设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN= 。∴P(t， )。

∵点M在抛物线上，∴M(t， )。

如图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，

AG=yA﹣yM=2﹣ ，

BH=PN= 。

当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，

∴ ，化简得3t2﹣8t+4=0。

解得t1=2(不合题意，舍去)，t2= ，

∴点P的坐标为( )。

∴存在点P( )，使得四边形ABPM为等腰梯形。

(3)如图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R。

由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3

设点A′的横坐标为a，则点A′(a，﹣a+3)，

易知△OQT∽△OCD，可得QT= 。

∴点Q的坐标为(a， )。

设AB与OC相交于点J，

∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴ 。

∴ 。

∴KT= A′T= (3﹣a)，A′Q=yA′﹣yQ=(﹣a+3)﹣ =3﹣ a。

∴S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ= KT•A′T﹣ A′Q•HT

。

∵ <0，

∴在线段AC上存在点A′( )，能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为 。

【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。

【分析】(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。

(2)根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解。结论：存在点P( )，使得四边形ABPM为等腰梯形。

(3)求出得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。

13. (2012浙江绍兴12分)把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)。

(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少?

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有，说明理由。

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。

【答案】解：(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm。

则(40-2x)2=484，解得 (不合题意，舍去)， 。

∴剪掉的正方形的边长为9cm。

②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与x的函数关系为： ，

∴x=10时，y最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。

(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。

则 ，

解得： (不合题意，舍去)， 。

∴剪掉的正方形的边长为15cm。

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