2016年浙江中考数学押轴题归总解析

(1)如图①，对△ABC作变换[60°， ]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=　 　;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　 　度;

(2)如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值;

(4)如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值.

【答案】解：(1) 3;60。

(2)∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°。

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°.

在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°。

∴AB′=2 AB，即 。

(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′。

又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°。∴∠C′AB′=∠BAC=36°。

而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA。∴AB：BB′=CB：AB。

∴AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)。

而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1(1+AB)，解得， 。

∵AB>0，∴ 。

【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含300角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方，。

【分析】(1)根据题意得：△ABC∽△AB′C′，

∴S△AB′C′：S△ABC= ，∠B=∠B′。

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。

(2)由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值。

(3)由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)，继而求得答案。

6. (2012浙江嘉兴、舟山14分)在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ，交y轴于点M.作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.

(1)如图1，当m= 时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值;

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标;

(2)如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E.

①用含m的代数式表示点Q的坐标;

②求证：四边形ODME是矩形.

【答案】解：(1)①把x= 代入 y=x2，得 y=2，∴P( ，2)，∴OP= 。

∵PA丄x轴，∴PA∥MO.∴ 。

②设 Q(n，n2)，∵tan∠QOB=tan∠POM，∴ .∴ 。

∴Q( )。∴OQ= 。

∴当 OQ=OC 时，则C1(0， )，C2(0，- )。

当 OQ=CQ 时，则 C3(0，1)。

(2)①∵点P的横坐标为m，∴P(m，m2)。设 Q(n，n2)，

∵△APO∽△BOQ，∴ 。∴ ，得 。

∴Q( )。

②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P(m，m2)、Q( )代入，得：

，解得b=1。∴M(0，1)。

∵ ，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA。

∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA。

同理可证：EM∥OD。

又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。

【分析】(1)①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。

②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断：

QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定;

QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。

(2)①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。

②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。

7. (2012浙江丽水、金华10分)在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.

(1)如图1，当点A的横坐标为　　　　时，矩形AOBC是正方形;

(2)如图2，当点A的横坐标为 时，

①求点B的坐标;

②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点?如果可以，说出变换的过程;如果不可以，请说明理由.

【答案】解：(1) -1。

(2)　①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

当x=- 时，y=(- )2= ，

即OE= ，AE= 。

∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，21世

∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠EAO=∠BOF。

又∵∠AEO=∠BFO=90°，∴△AEO∽△OFB。

∴ 。

设OF=t，则BF=2t，∴t2=2t，解得：t1=0(舍去)，t2=2。

∴点B(2，4)。

②过点C作CG⊥BF于点G，

∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠EOA=∠FBO，

∴∠EAO=∠CBG。

在△AEO和△BGC中，∠AEO=∠G=900，∠EAO=∠CBG,AO=BC，

∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG=OE= ，BG=AE= 。

∴xc=2- ，yc=4+ 。∴点C( )。

设过A(- ， )、B(2，4)两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得，

，得 。

∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2。

∵当x= 时，y=-( )2+3× +2= ，∴点C也在此抛物线上。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2=-(x- )2+ 。

平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到抛物线

y=-(x- )2+ 。

【考点】二次函数综合题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等和相似三角形的判定和性质，平移的性质。

【分析】(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵矩形AOBC是正方形，∴∠AOC=45°。

∴∠AOD=90°-45°=45°。

∴△AOD是等腰直角三角形。

设点A的坐标为(-a，a)(a≠0)，

则(-a)2=a，

解得a1=-1，a2=0(舍去)，∴点A的坐标-a=-1。

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