2016年浙江中考数学押轴题归总解析

如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：

延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，

△FDE即为所求。

∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，

∴FD=5 。

则C△EFD=5+10+5 =15+5 ，

由(2)可得C△COB=3+ ，

∴C△EFD：C△COB=(15+5 )：(3+ )=5：1。

【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE⊥CE，又OB⊥AT，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数。

(2)在Rt△AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB⊥MN，根据垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在Rt△OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在Rt△OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值。

(3)把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。

顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，△FDE即为所求。

根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△FDE为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出△EFD的周长，再由(2)求出的△OBC的三边表示出△BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。

3. (2012浙江湖州10分)为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵.

(1)求乙、丙两种树每棵各多少元?

(2)若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵?

(3)若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵?

【答案】解：(1)已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，

∴乙种树每棵200元，丙种树每棵 ×200=300(元)。

(2)设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树(1000-3x)棵.

根据题意：200•2x+200x+300(1000-3x)=210000，

解得x=30。

∴2x=600，1000-3x=100，

答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵。

(3)设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共(1000-y)棵，

根据题意得：200(1000-y)+300y≤210000+10120，

解得：y≤201.2。

∵y为正整数，∴y最大为201。

答：丙种树最多可以购买201棵。

【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。

【分析】(1)利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数。

(2)设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树(1000-3x)棵，利用(1)中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可。

(3)设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共(1000-y)棵，根据题意列不等式，求出即可。

4. (2012浙江湖州12分)如图1，已知菱形ABCD的边长为 ，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点.点D的坐标为(- ，3)，抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.

(1)求这条抛物线的函数解析式;

(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2)，过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0

①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由;

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时，求t的取值范围.(写出答案即可)

【答案】解：(1)由题意得AB的中点坐标为(-3 ，0)，CD的中点坐标为(0，3)，

分别代入y=ax2+b，得 ，解得， 。

∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2+3。

(2)①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，

∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC= BC= ，DE= 。

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°

要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。

(I)若∠ADF=90°，∠EDF=120°-90°=30°。

在Rt△DEF中，DE= ，得EF=1，DF=2。

又∵E(t，3)，F(t，-t2+3)，∴EF=3-(-t2+3)=t2。∴t2=1。

∵t>0，∴t=1 。

此时 ，∴ 。

又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。

(II)若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则 。

设EF=m，则FB=3-m。

∴ ，即m2-3m+6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。

(III)由题意得，∠DAF<∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。

综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。

② 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。

【分析】(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。

(2)①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：

(I)若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。

(II)若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。

(III)∠DAF≠90°，此时t不存在。

②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：

如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。

观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N。

∵F(t，3-t2)，∴EF=3-(3-t2)=t2。∴EE′=2EF=2t2。

由EE′≤BE，得2t2≤3，解得 。

又∵C′E′=CE= ，∴C′点的横坐标为t- 。∴MN=3-(t- )2，

又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t2，

∴由MN≥C′N，得3-(t- )2≥3-2t2，即t2+2 t-3≥0。

求出t2+2 t-3=0，得 ，∴t2+2 t-3≥0即 。

∵ ，∴ ，解得t≥ 。

∴t的取值范围为： 。

5. (2012浙江嘉兴、舟山12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n].

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