“乘法分配律”教学片段及评析

　　《数学课程标准（实验稿）》指出：“义务教育阶段的数学课程其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展，它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”课改实践证明，引导学生结合现实的问题情境构建数学模型，并进行解释和应用，能很好地促进学生自主学习，提升学生的数学思考，提高教学效果。一位教师在教学“乘法分配律”时，引导学生从现实的、结构化的问题情境中发现不同算法间的联系，让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，主动探究数学规律、发现数学模型，使学生在获得对数学知识理解、技能掌握的同时，在思维能力、情感态度等方面得到进步和发展。下面是其教学片段的实录及评析。
　　片段一：让知识在顺向中诱导模型
　　教师出示下面的算式：
　　（1）8×43+57×8 （2）102×43
　　（3）265×99+265 （4）64×201-64
　　并提问：读完这些算式，同学们能立即说出答案吗？
　　学生注意力一下子集中了起来，个个跃跃欲试。就在学生“心求通而未得，口欲言而未能”之时，教师指出，本节课就来学习以上各算式的简便计算规律。接着出示下面的两组算式要求学生口算，并根据每组题中两个算式的得数想一想这两个算式有什么联系。
　　（1）①（2+3）×4②2×4+3×4
　　（2）①8×（7+3）②8×7+8×3
　　学生口算后回答：每组里的两个算式的得数都相等，得数相等的两个算式应相等。
　　教师肯定学生的回答后，随即分别把每组的两个算式用等号连接起来，把学生观察的焦点由计算结果引向算式的关系上，获得乘法分配律具体表达方式的初步印象。
　　教师进一步引导学生仔细观察每一组中的算式①，要求学生用数学语言表述出来，并说说它们表示什么意思。
　　生：这两个算式表示的是两个数的和乘一个数。
　　师：那么每组中的算式②呢？
　　生：表示两个积的和。
　　师：请同学们想一想，这两组算式说明了什么。
　　生：两个数的和乘一个数的得数与两个数分别乘这个数再把积加起来的得数是相同的。
　　［评析：数学模型的建构是对问题情境中某种内在的数学关系、规律的概括、提炼与总结，它依赖于一定的现实情境，可以说，情境是模型生成、发生、发展的诱因。课伊始，教师创设了良好的数学问题情境，以激发学生的学习兴趣和求知欲望，注重引导学生在自主解决问题的过程中体会同一情境所得出的不同算式之间的内在联系，初步形成有关的数学模型，为随后数学模型的抽象和概括打下了基础，实现了新旧知识的正迁移，体现数学教学必须建立在学生已有的认知水平上，使数学学习具有现实性和挑战性。］
　　片段二：让规律在探究中构建模型
　　接着，课件出示教材第33页“植树”主题情境图，要求学生带着例3中的问题：“一共有多少名同学参加了这次植树活动”去看主题情境图。
　　
　　在学生观察主题情境图，积极思考的基础上，教师组织学生讨论、交流、汇报。
　　生：（看着“植树”主题情境图）一共有25个小组，每组里4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。要求一共有多少名同学参加植树活动，可以用每组的人数乘组数，即：（4+2）×25=150（人）。
　　生：从图上知道每组人数是4+2=6（人），有25个小组。要求一共有多少名同学参加了这次植树活动，可以用每组人数乘组数来计算。
　　师：说得真不错！还有别的方法吗？
　　生：先分别算出挖坑、种树的人数与抬水、浇树的人数，算式是4×25=100（人），2×25=50（人），再求一共有多少名同学参加这次植树活动。算式是：100+50=150（人）。还可以用综合算式表示为：4×25+2×25=150（人）。
　　生：我是这样想的，先算出挖坑、种树和抬水、浇树各有多少人，再把两个积相加，算式是4×25+2×25=150（人）。
　　师：通过计算，同学们发现了什么？
　　生：两种解法虽然算式不同，但计算的结果相同，可以用等号连接这两个算式，即：（4+2）×25=4×25+2×25
　　师：这两个算式的意义有什么不同？
　　生：（4+2）×25是把4与2的和同25相乘；4×25+2×25是先用4与2分别乘25，再把两个积相加，结果不变。
　　教师进一步要求学生各自举例阐述，在学生独立思考、相互讨论交流的基础上，引导学生用数学语言、符号语言表述上述规律。
　　师：如果用甲数、乙数、丙数分别表示三个数的话，你能用一个等式表示出左右两边算式之间的关系吗？
　　生：（甲数+乙数）×丙数=甲数×丙数+乙数×丙数。
　　师：还可以用别的符号表示吗？
　　生：如果用△、○、□分别表示三个数的话，还可以用等式（△+○）×□=△×□+○×□来表示。
　　生：我还发现如果用字母a、b、c分别表示三个数的话，那么可以用等式（a+b）×c=a×c+b×c来表示。
　　在教师启发学生用数学语言、符号、字母归纳概括出两个算式的等量关系后，进一步点明：这就是这节课我们所学习的“乘法分配律”。（板书课题并请学生看课本第36页上是怎样表述乘法分配律的。最后，引导学生深入理解：等号右边等式里的不相同因数，就是等号左边算式里的两个加数；右边算式里相同因数，则是左边算式里的一个乘数，把学生的思维引向认知新天地。
　　［评析：集中呈现大量具有某种相似结构的素材，是数学模型得以成功抽象、概括和提炼的关键。教师注重强化体验，诱导思维，让学生始终参与探究新知的过程。同时引导学生进行数学思维，抛开具体等式中的非本质特征，概括出它们共同具有的本质特征，并让学生自己发现，尝试用自己喜欢的方式表示出来。教师及时引导学生从符号表示过渡到用字母表示，体会到用字母表示数学模型的简洁性和形象性，从一组等式过渡到一个符号、文字或字母表示的等式，生动地体现了学生对于乘法分配律这一数学模型的抽象、概括，培养了学生的思维能力。］
　　片段三：让新知在应用中深化模型
　　师：同学们真聪明！发现并探究了乘法分配律。现在请应用所掌握的知识独立思考解决下面的问题。
　　师：（出示“（180+560）×23”）按原来的运算顺序，应先算什么，后算什么？根据乘法分配律，还可以怎样算？
　　学生做题后，教师引导讨论。
　　师：（出示“9×47+53×9=9×（47+53）”）请同学们观察、分析，从中发现了什么？
　　生：这道题中47和53都与9相乘，根据乘法分配律，可以先把47和53加起来，再将它们的和与9相乘，计算结果不变。
　　生：这道题中有一个因数9相同，另外两个不相同因数47和53的和恰好凑成整百数，就可以根据乘法分配律，用这个相同因数与其他两个因数的和相乘使计算变得简便。
　　师：现在我们再来看一看课开始时要求回答的四个算式，想一想是两个数的和与一个数相乘简便呢，还是先分别相乘，然后再求和简便？
　　生：我认为（1）（3）题是两积求和的算式，有一个因数是相同的，另外两个不相同的因数的和恰好凑整，根据乘法分配律，用这个相同因数与另外两个因数的和相乘。可以用口算，即：
　　（1）8×43+57×8=（43+57）×8=100×8=800

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